Question

14．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：BD=CF；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，若正方形ADEF的边长为1，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度；
（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，若BC=4CD=4，延长BA交CF于点G，连接GE，求GE的长度．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AD=AF、∠DAC+∠CAF=90°，由等腰直角三角形知∠BAC=90°、∠BAD+∠DAC=90°，从而得∠BAD=∠CAF，根据“SAS”证明即可；
（2）首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得；
（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC=$\sqrt{2}$AB=4，AH=$\frac{1}{2}$BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论

解答 解：（1）∵四边形ADEF为正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，即∠DAC+∠CAF=90°，
∵∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF；

（2）如图2，

∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°+∠CAD，∠CAF=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠ACB+∠ACF=90°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的边长为1，且对角线AE、DF相交于点O．
∴DF=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$，O为DF中点．
∴OC=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（3）过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，

∵BC=4CD=4，
∴BC=4，CD=1，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴AH=CH=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴DH=3，
由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠ADH=∠DEM}\\{∠AHD=∠DME}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG=$\sqrt{G{N}^{2}+E{N}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．