Question

7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OCAB的两边在直角坐标系的坐标轴上，顶点A在第二象限，OB=4，OC=3，点D是边AB上的一个动点（点D不与A，B重合），过点D的反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象与边AC交于点E．
（1）求证：DE∥BC；
（2）点P在BC上，是否存在点D使得△DPE的面积为$\frac{4}{3}$，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质可得出点D、E的坐标，由此可得出AD、AE的长度，根据$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$即可证出DE∥BC；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，AM交DE于点N，利用面积法求出AM的长度，设AD=x（0＜x＜3），则BD=3-x，根据平行线的性质找出DE、MN的长度，根据三角形的面积公式结合△DPE的面积为$\frac{4}{3}$，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形OCAB为矩形，顶点A在第二象限，OB=4，OC=3，
∴点A的坐标为（-4，3），AB=3，AC=4，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=5．
∵点D、点E在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴点D的坐标为（-4，-$\frac{m}{4}$），点E的坐标为（$\frac{m}{3}$，3），
∴BD=-$\frac{m}{4}$，AD=AB-BD=3+$\frac{m}{4}$，CE=-$\frac{m}{3}$，AE=AC-CE=4+$\frac{m}{3}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3+\frac{m}{4}}{3}$=$\frac{12+m}{12}$，$\frac{AE}{AC}$=$\frac{4+\frac{m}{3}}{4}$=$\frac{12+m}{12}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴DE∥BC．
（2）过点A作AM⊥BC于点M，AM交DE于点N，如图所示．
∵AB=3，AC=4，BC=5，
∴AM=$\frac{12}{5}$．
设AD=x（0＜x＜3），则BD=3-x，
∵DE∥BC，
∴DE=$\frac{5}{3}$x，AN=$\frac{4}{5}$x，
∴MN=AM-AN=$\frac{12}{5}$-$\frac{4}{5}$x，
∵S_△DPE=$\frac{1}{2}$DE•MN=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$x•（$\frac{12}{5}$-$\frac{4}{5}$x）=-$\frac{2}{3}{x}^{2}$+2x=$\frac{4}{3}$，
整理得：x²-3x+2=0，
解得：x₁=1，x₂=2，
∴当点D的坐标为（-4，1）或（-4，2）时，△DPE的面积为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及平行线的性质，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出点D、E的坐标是解题的关键．