Question

如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB 的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当一个点停止运动时时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t．
（1）用含有t的代数式表示CP．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

Answer 1

考点：全等三角形的判定,等腰三角形的性质

专题：几何图形问题,动点型,分类讨论

分析：（1）求出BP=3t，即可求出答案；
（2）求出BP、CQ、CP，根据全等三角形的判定推出即可；
（3）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使△BPD与△CQP全等，求出BD=5厘米，BP=3t厘米，CP=（8-3t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，根据全等三角形的性质得出方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴BP=3t厘米，
∵BC=8厘米，
∴CP=（8-3t）厘米；

（2）点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP全等，
理由是：∵AB=AC=10厘米，点D为AB的中点，
∴∠B=∠C，BD=5厘米，
∵BP=CQ=3t厘米=3厘米，
∴CP=8厘米-3厘米=5厘米=BD，
在△DBP和△PCQ中，

BD=CP ∠B=∠C BP=CQ

，
∴△DBP≌△PCQ（SAS）；

（3）设当点Q的运动速度为x厘米/时，时间是t小时，能够使△BPD与△CQP全等，
∵BD=5厘米，BP=3t厘米，CP=（8-3t）厘米，CQ=xt厘米，∠B=∠C，
∴当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，△BPD与△CQP全等，
即①3t=xt，5=8-3t，
解得：x=3（不合题意，舍去），
②3t=8-3t，5=xt，
解得：x=

15

4

，
即当点Q的运动速度为

15

4

厘米/时时，能够使△BPD与△CQP全等．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，用了分类讨论思想．