Question

如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB、FC．
（1）求证：FB=FC；
（2）求证：FB²=FA•FD；
（3）若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）可通过证角相等来得出边相等，根据ACBF是圆的内接四边形，那么外角∠DAC=∠FBC，那么关键就是证明∠FCB=∠DAC，根据AD平分∠EAC，即∠EAD=∠DAC=∠FAB，我们发现∠FAB和∠FCB正好对应了同一段弧，因此便可得出∠FBC=∠FCB了；
（2）本题实际要证明△FBA和△FDB相似，（1）中已证得∠FAB=∠FCB=∠FBC，又有一个公共角，因此两三角形就相似了；
（3）根据∠EAC=120°可以得到∠DAC=60°，根据AB是△ABC外接圆的直径可以提出AC⊥BC，然后在直角三角形ABC中，有∠BAC的度数，有BC的长，就能求出AC的长，然后在直角三角形ACD中，根据∠ACD=60°，即可用三角函数求出AD．

解答：（1）证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵四边形AFBC内接于圆，
∴∠DAC=∠FBC，
∵∠EAD=∠FAB=∠FCB，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC；

（2）证明：∵∠FAB=∠FCB=∠FBC，∠AFB=∠BFD
∴△FBA∽△FDB，
∴

FB

FD

=

FA

FB

，
∴FB²=FA•FD；

（3）解：∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°
∵∠EAC=120°，
∴∠DAC=

1

2

∠EAC=60°，
∵四边形ACBF内接于圆，
∴∠DAC=∠FBC=60°，又FB=FC，
∴△BFC是等边三角形，
∴∠BAC=∠BFC=60°，
∴∠D=30°，
∵BC=6，
∴AC=2

3

，
∴AD=2AC=4

3

．

点评：本题主要的考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，根据圆周角定理和圆的内接四边形得出角相等是解题的关键，综合性较强，对学生的要求比较高．