Question

【题目】如图，在Rt△ABC中, ，，，直线l从与AC重合的位置开始以每秒个单位的速度沿CB方向平行移动，且分别与CB，AB边交于D，E两点，动点F从A开始沿折线ACCBBA运动，点F在AC，CB，BA边上运动的速度分别为每秒3，4，5个单位，点F与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点F第一次回到点A时，点F与直线 l同时停止运动．运动过程中，作点F关于直线DE的对称点，记为点，若形成的四边形 为菱形，则所有满足条件的之和为_________．

Answer 1

【答案】

【解析】

首先结合题意画出图形，然后根据菱形的性质和相似三角形的性质分别从两种情况当P点在AC上时和当P在AB上时去分析求解，即可求得t的值．

如图1，当P点在AC上时，（0＜t≤2）

∴AP=3t，PC=6-3t，EC=t，

∴BE=8-t，

∵EF∥AC，

∴△FEB∽△ACB，

∴，

∴，

∴EF=6-t．

∵四边形PEQF是菱形，

∴∠POE=90°，OE=EF=3-t，

∵EF∥AC，∠C=90°，

∴∠OEC=90°，

∴四边形PCEO是矩形，

∴OE=PC．

∴3-t=6-3t，

∴t=，

如图2，当P在AB上时（4＜t＜6），

∵四边形PFQE是菱形，

∴PE=PF，

∴∠PFE=∠PEF，

∵EF∥AC，∠C=90°，

∴∠FEB=∠FEP+∠PEB=90°，

∴∠B+∠EFB=90°，

∴∠B+∠FEP=90°，

∴∠PEB=∠B，

∴PE=PB．

∵PB=5（t-4），

∴BF=10（t-4），

∵sin∠B=，

∴，

∴EF=6t-24

∵CE=t，

∴BE=8-t，

∵△FEB∽△ACB，

∴，

∴，

∴EF=6-t．

∴6-t=6t-24

解得t=；

∴．

故答案为：.