Question

（2012•柳州）已知：抛物线y=

3

4

（x-1）²-3．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；
（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的性质，写出开口方向与对称轴即可；
（2）根据a是正数确定有最小值，再根据函数解析式写出最小值；
（3）分别求出点P、Q的坐标，再根据待定系数法求函数解析式解答．

解答：解：（1）抛物线y=

3

4

（x-1）²-3，
∵a=

3

4

＞0，
∴抛物线的开口向上，
对称轴为直线x=1；

（2）∵a=

3

4

＞0，
∴函数y有最小值，最小值为-3；

（3）令x=0，则y=

3

4

（0-1）²-3=-

9

4

，
所以，点P的坐标为（0，-

9

4

），
令y=0，则

3

4

（x-1）²-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，点Q的坐标为（-1，0）或（3，0），
当点P（0，-

9

4

），Q（-1，0）时，设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

b=- 9 4 -k+b=0

，
解得

k=- 9 4 b=- 9 4

，
所以直线PQ的解析式为y=-

9

4

x-

9

4

，
当P（0，-

9

4

），Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n，
则

n=- 9 4 3m+n=0

，
解得

m= 3 4 n=- 9 4

，
所以，直线PQ的解析式为y=

3

4

x-

9

4

，
综上所述，直线PQ的解析式为y=-

9

4

x-

9

4

或y=

3

4

x-

9

4

．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，以及抛物线与x轴的交点问题，是基础题，熟记二次函数的开口方向，对称轴解析式与二次函数的系数的关系是解题的关键．