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如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E,连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.
(1)请证明:E是OB的中点;
(2)若AB=8,求CD的长.

【答案】分析:(1)要证明:E是OB的中点,只要求证OE=OB=OC,即证明∠OCE=30°即可.
(2)在直角△OCE中,根据勾股定理就可以解得CE的长,进而求出CD的长.
解答:(1)证明:连接AC,如图
∵直径AB垂直于弦CD于点E,

∴AC=AD,
∵过圆心O的线CF⊥AD,
∴AF=DF,即CF是AD的中垂线,
∴AC=CD,
∴AC=AD=CD.
即:△ACD是等边三角形,
∴∠FCD=30°,
在Rt△COE中,

∴点E为OB的中点;

(2)解:在Rt△OCE中,AB=8,

又∵BE=OE,
∴OE=2,


点评:解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里,运用勾股定理求解.
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