Question

已知抛物线y=x²和直线y=（m²-1）x+m²．
（1）当m为何实数时，抛物线与直线有两个交点；
（2）设坐标原点为O，抛物线与直线的交点从左至右分别为A、B、当直线与抛物线两点的横坐标之差为3时，求△AOB中的OB边上的高．

Answer 1

解：（1）由，
有：x²-（m²-1）x-m²=0…①
△=[-（m²-1）]²-4（-m²）=（m²+1）²＞0
∴无论m取任何实数，方程①总有两个不同的实数根．
即无论m取任何实数，直线与抛物线总有两个不同的交点．

（2）解方程①，有x₁=-1，x₂=m²；
令|m²-（-1）|=3，有m²+1=3，
∴m=±；
∴当m=±时，直线与抛物线两交点的横坐标之差为3．
此时y=x+2，A（-1，1），B（2，4）．
由勾股定理，得
|OA|=，|OB|=．
过B作x轴的垂线，交x轴于点M，过A作BM的垂线．交BM于N．
则|AN|=3，|BN|=3；
∴|AB|=
∵|OA|²+|AB|²=|OB|²
∴由勾股定理逆定理，知△AOB为直角三角形，且∠BAO=90°，
设OB边上的高为h，则有
|AB|•|OA|=|OB|•h．
即•=•h
∴h=．
分析：（1）联立抛物线和直线的解析式，可得出一个关于x的一元二次方程，如果抛物线与直线有两个交点，那么方程的△＞0，由此可得出m的值．
（2）本题要先根据（1）两函数联立得出的方程求出A，B的横坐标，然后根据两点的横坐标差为3，求出m的值，即可求出A，B两点的坐标，然后根据A，B的坐标来求△AOB中OB边上的高．
点评：本题主要考查了函数图象交点的求法、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理等知识点．