【题目】如图1,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)和点B(3,0).P为该抛物线上一动点,设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式.
(2)将该抛物线沿y轴向下平移AB个单位长度,点P的对应点为P′,若OP=OP′,求△OP P′的面积.
(3)如图2,连接AP,BP,设△APB的面积为S,当-2≤m≤2时,直接写出S的最大值.
【答案】(1);(2)或;(3)S的最大值为5
【解析】
(1)利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;
(2)先根据A,B的坐标求出AB的长度,进而可求出抛物线平移的距离,根据OP=OP′可得出x轴是PP′的垂直平分线,从而可知P点的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出相应的横坐标,最后利用面积公式即可求解;
(3)设点P的纵坐标为y,根据题意得,然后分两种情况,当点P在x轴上方时和点P在x轴下方时,分别求出y的最大值,进而分别求出S的最大值,最终即可确定答案.
解:(1)将代入中,得
解得
∴则该抛物线的解析式为;
(2)∵,
∴AB=4,
,
∴抛物线是向下平移了2个单位长度, PP′=2.
∵OP=OP′
∴x轴是PP′的垂直平分线,
∴点P的纵坐标为1.
当y=1时,,
解得 ,
∴ 或,
∴△O PP′的面积为或;
(3)S的最大值为5,理由如下:
将抛物线转换成顶点式,得.
设点P的纵坐标为y,
由题意得,
当点P在x轴上方时,m=1时,取最大值,
∵当时,,
∴S的最大值为;
当点P在x轴下方时,时,取最大值,
∵当时, ,
∴S的最大值为;
∴当 时,S的最大值为5.
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【题目】一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为,两车之间的距离为),图中的折线表示与之间的函数关系,根据图象进行探究:
(1)甲、乙两地之间的距离为 ;
(2)请解释图中点的实际意义:__________;
(3)求线段所表示的与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
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【题目】如图,在ABCD中,点E、F分别在边AB和CD上,下列条件不能判定四边形DEBF一定是平行四边形的是( )
A.AE=CFB.DE=BFC.∠ADE=∠CBFD.∠AED=∠CFB
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【题目】央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣,某校为满足学生的阅读需求,欲购进一批学生喜欢的图书,学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查,被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类,根据调查结果绘制了统计图(未完成),请根据图中信息,解答下列问题:
(1)此次共调查了 名学生;
(2)将条形统计图1补充完整;
(3)图2中“小说类”所在扇形的圆心角为 度;
(4)若该校共有学生2000人,估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数.
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【题目】矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,O为坐标原点,点B的坐标为(10,8),连接AC,已知反比例函数y=(m≠0)在第一象限的图象经过矩形OABC的对角线的交点D,并交BC于点E,交AB于点F.
(1)求线段AC所在直线的解析式和m的值.
(2)连接OE,OF,EF,求△OEF的面积.
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【题目】如图,等边△AOB,点C是边AO所在直线上的动点,点D是x轴上的动点,在矩形CDEF中,CD=6,DE=,则OF的最小值为___________.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,连接BD,点E在AB上,连接CE交BD于点F,作FG⊥BC于点G,∠BEC=3∠BCE,BF=DF,若FG=,则AB的长为_____.
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【题目】如图,AB 是⊙ O 的直径,点 C 是⊙ O 上的一点,点 D 是弧 BC 的中点,连接 AC, BD,过点 D 作 AC 的垂线 EF,交 AC 的延长线于点 E,交 AB 的延长线于点 F..
(1)依题意补全图形;
(2)判断直线 EF 与⊙ O 的位置关系,并说明理由
(3)若 AB=5,BD=3,求线段 BF 的长
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【题目】已知抛物线经过点,且抛物线上任意不同两点都满足:当时,;当时,;抛物线与轴另一个交点为,与轴交于点,对称轴与轴交于点.
(1)求抛物线的对称轴及点的坐标;
(2)过点作轴的平行线交抛物线的对称轴于点,当四边形是正方形时,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,垂直于轴的直线与抛物线交于点和,与直线交于点,若,结合函数的图象,直接写出的取值范围.
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