Question

如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．
（3）如果BC=10，求AB+AE的长．

Answer 1

（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．

（2）AD与BE垂直．
证明：由BE为∠ABC的平分线，
知∠ABE=∠DBE，∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE，
∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合．
∴A、D是对称点，
∴AD⊥BE．

（3）∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，
∴AE=DE，
在Rt△ABE和Rt△DBE中

AE=DE BE=BE

∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL），
∴AB=BD，
又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠C=45°，又ED⊥BC，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴DE=DC，
即AB+AE=BD+DC=BC=10．