Question

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD=DF．
（1）求证：CF=EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；
（2）根据全等三角形的性质定理得到AC=AE，根据（1）的结论得到答案．

解答 证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴DC=DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=DE}\\{DF=DB}\end{array}\right.$，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF=EB；
（2）AF+BE=AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴AC=AE，
∴AF+FC=AE，
即AF+BE=AE．

点评 本题考查的是角平分线的性质和三角形全等的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键，注意直角三角形全等的判定方法．