Question

按下面规则扩充新数：已有a和b两个数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，…，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数2和3．
①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数；
②能否通过上述规则扩充得到新数5183？并说明理由．

Answer 1

分析：①将2与3分别代入求解，再取其最大的两个值依次代入即可求得答案；
②找到规律：设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）^m•（b+1）ⁿ，式中m、n为整数，即可得当a=2，b=3时，x+1=3^m×4ⁿ，然后求解即可．

解答：解：①∵a=2，b=3，
c₁=ab+a+b=6+2+3=11，
∴取3和11，
∴c₂=3×11+3+11=47，
取11与47，
∴c₃=11×47+11+47=575，
∴扩充的最大新数575；

②5183可以扩充得到．
∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）-1，
∴c+1=（a+1）（b+1），
取数a、c可得新数
d=（a+1）（c+1）-1=（a+1）（b+1）（c+1）（a+1）-1=（a+1）²（b+1），
即d+1=（a+1）²（b+1），
同理可得e=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）-1，
∴e+1=（b+1）²（a+1），
设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）^m•（b+1）ⁿ，式中m、n为整数，
当a=2，b=3时，x+1=3^m×4ⁿ，
又∵5183+1=5184=3⁴×4³，
故5183可以通过上述规则扩充得到．

点评：此题考查了因式分解的应用，解题的关键是找到规律设扩充后的新数为x，则总可以表示为x+1=（a+1）^m•（b+1）ⁿ，式中m、n为整数．