Question

16．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，BO是∠ABC的一条三等分线（把∠ABC平均分成三等分），CO是∠ACB的平分线，BO与CO相交于点O（所给两图供解题时参考）．
（1）若∠A=60°，求∠O；
（2）若∠A=120°，求∠O；
（3）由（1）（2）你发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？选择一种情形证明．

Answer 1

分析 （1）由∠A=60°，∠ABC=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，得出∠ABC=∠ACB=60°，BO是∠ABC的一条三等分线得出∠OBC=20°，CO是∠ACB的平分线得出∠OCB=30°，进一步利用三角形的内角和得出∠O=130°；当∠OBC=40°，得出∠O=110°；
（2）方法同（1）得出∠O=155°或145°；
（3）把角度计算换为∠OBC=$\frac{1}{3}$∠ABC或$\frac{2}{3}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，利用三角形的内角和得出答案即可．

解答 解：（1）∵∠A=60°，∠ABC=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BO是∠ABC的一条三等分线，
∴∠OBC=20°或∠OBC=40°，
CO是∠ACB的平分线，
∴∠OCB=30°，
∴∠O=180°-∠OBC-∠OCB=130°或110°；
（2）若∠A=120°，则∠OBC=10°或∠OBC=20°，∠OCB=15°，
∴∠O=180°-∠OBC-∠OCB=155°或145°；
（3）设∠A=α，
则∠OBC=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×（180°-α）=30°-$\frac{1}{6}$α或∠OBC=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×（180°-α）=60°-$\frac{1}{3}$α，∠OCB=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$（180°-α）=45°-$\frac{1}{4}$α，
∴∠O=180°-∠OBC-∠OCB=105°+$\frac{1}{12}$α或75°+$\frac{7}{12}$α．

点评 此题考查三角形的内角和定理，角平分线的性质，掌握三角形的内角和180°是解决问题的关键．