Question

1． 如图，平面直角坐标系中，AO=4，AB=5，C为反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＜0）的图象上一点，CB⊥OB．D为x正半轴上一点，OD=7．
（1）求直线AB的解析式和AD的长；
（2）若AC⊥CD，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求得OB=3，就可得出A（-4，0），B（0，3），然后根据待定系数法就可求得直线AB的解析式，根据OA、OD的长可求得AD的长；
（2）根据题意设C（m，3），作CE⊥AD于E，根据射影定理得出3²=（4+m）（7-m），解方程求得m的值，然后根据k=xy，把C的坐标代入即可求得．

解答 解：（1）∵AO=4，AB=5，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=3，
∴A（-4，0），B（0，3），
设直线AB的解析式为y=kx+b．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+3，
∵AO=4，OD=7．
∴AD=AO+OD=4+7=11．
（2）如图，作CE⊥AD于E，
∴C点的纵坐标为3，
设C（m，3），
∴AE=4+m，ED=7-m，
∴CE²=AE•ED，
即3²=（4+m）（7-m），
∴m₁=$\frac{3+\sqrt{85}}{2}$（舍去），m₂=$\frac{3-\sqrt{85}}{2}$，
∴k=3m=$\frac{9-3\sqrt{85}}{2}$．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及勾股定理的应用，射影定理的应用．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想．