Question

如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=80°，∠C=46°
（1）你会求∠DAE的度数吗？
（2）你能发现∠DAE与∠B、∠C之间的关系吗？
（3）若只知道∠B-∠C=20°，你能求出∠DAE的度数吗？
（4）∠AED是哪个三角形的外角？

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据AE平分∠BAC求出∠BAE的度数，根据AD⊥BC求出∠BAD的度数，由∠DAE=∠BAE-∠BAD即可得出结论；
（2）设∠C=α°，∠B=β°，α＞β，同（1）即可得出结论；
（3）用∠B，∠C表示∠DAE即可；
（4）根据三角形外角的定义即可得出结论．

解答：解：（1）∵在△ABC中，∠B=80°，∠C=46°，
∴∠BAC=180°-80°-46°=54°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=

1

2

∠BAC=27°．
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-80°=10°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=27°-10°=17°；

（2））∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∵∠C=β，
∴∠DAC=90°-β，
∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC=

1

2

∠BAC=

1

2

（180°-α-β）=90°-

1

2

α-

1

2

β，
∵∠C＞∠B
∴当α＞β时，∠DAE=∠DAC-∠EAC=90°-β-（90°-

1

2

α-

1

2

β）=

1

2

α-β=

1

2

（α-β）；

（3）∵AE为角平分线，
∴∠BAE=

180°-∠B-∠C

2

，
∵∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=

180°-∠B-∠C

2

-（90°-∠B）=

∠B-∠C

2

，
若∠B-∠C=20°，则∠DAE=10°；

（4）由图可知，∠AED是△ACE的外角．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．