Question

【题目】如图①，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y＝kx+b经过点E和点F．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；

（3）在第一象限内，请直接写出关于x的不等式kx+b≤的解集：　 ．

（4）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）S△OEF＝；（3）0＜x＜或x＞3．（4）HN+ON的最小值为4．

【解析】

（1）首先确定点B坐标，再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题．
（2）求出点E，F的坐标，再根据S△OEF=S矩形ABCO-S△AOE-S△OCF-S△EFB计算即可．
（3）写出在第一象限，直线的图象在反比例函数的图象的下方的自变量x的取值范围即可．
（4）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先证明：sin∠NOD=，推出NJ=ONsin∠NOD=ON，推出NH+ON=NH+NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值=HK的长，由此即可解决问题．

解：（1）在矩形ABCO中，∵OA＝BC＝4，OC＝AB＝3，

∴B（3，4），

∵OD＝DB，

∴D（，2），

∵y＝经过D（，2），

∴k＝3，

∴反比例函数的解析式为y＝．

（2）如图①中，连接OE，OF．

由题意E（，4），F（3，1），

∴S△OEF＝S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB

＝12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×（3﹣）

＝．

（3）观察图象可知：在第一象限内，关于x的不等式kx+b≤的解集为：0＜x＜或x＞3．

故答案为：0＜x＜或x＞3．

（4）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．

由题意OB＝OH＝5，

∴CH＝OH﹣OC＝5﹣3＝2，

∴BH＝＝＝2，

∴sin∠CBH＝＝，

∵OM⊥BH，

∴∠OMH＝∠BCH＝90°，

∵∠MOH+∠OHM＝90°，∠CBH+∠CHB＝90°，

∴∠MOH＝∠CBH，

∵OB＝OH，OM⊥BH，

∴∠MOB＝∠MOH＝∠CBH，

∴sin∠NOD＝，

∴NJ＝ONsin∠NOD＝ON，

∴NH+ON＝NH+NJ，

根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值＝HK的长，

∵OB＝OH，BC⊥OH，HK⊥OB，

∴HK＝BC＝4，

∴HN+ON是最小值为4．