Question

已知：如图，延长⊙O的直径AB到点C，过点C作⊙O的切线CE与⊙O相切于点D，AE⊥EC交⊙O于点F，垂足为点E，连接AD．
（1）若CD=2，CB=1，求⊙O直径AB的长；
（2）求证：AD²=AC•AF．

Answer 1

分析：（1）根据切割线定理可以求出AC的长，从而求出AB的长；
（2）可以通过证明△AFD∽△ADC得出AD²=AC×AF．

解答：（1）解：∵CD与⊙O相切，
∴CD²=CB•CA=CB•（CB+AB），
又∵CD=2，CB=1，
∴4=1•（1+AB），
∴AB=3；

（2）证法一：如图，连接FD、OD，
在△AFD和△ADC中，
∵EC与⊙O相切于点D，
∴OD⊥EC，
∠1=∠ADC  ①
又∵AE⊥EC，
∴AE∥OD，
∴∠4=∠2，
而∠2=∠3，
∴∠3=∠4  ②
由①、②可知△AFD∽△ADC，
∴

AD

AC

=

AF

AD

，
∴AD²=AC•AF；
证法二：如图，连接FD、BD，
在△AFD和△ADC中，
∵EC与⊙O相切于点D，
∴∠5=∠ADE，∠1=∠ADC  ①
又∠AED=∠ADB=90°，
∴∠3=∠4 ②
由①、②可知△AFD∽△ADC，
∴

AD

AC

=

AF

AD

，
∴AD²=AC•AF．

点评：本题综合考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，希望能将所学知识融汇贯通．