分析 (1)由直线AB解析式可求得A、B坐标,过点C作CE⊥x轴于点E,则可证明△ABO≌△CAE,则可求得OE和CE的长,可求得C点坐标;
(2)由题意可知P到y轴的距离为1,且OB为定值,则可求得△BOP的面积;
(3)当点P在第四象限时,可由S△ABP=S△ABO+S△APO-S△BOP得到关于a的方程,当点P在第一象限时,可由S△ABP=S△BOP+S△APO-S△ABO得到关于a的方程,可求得a的值.
解答 解:
(1)在y=-$\frac{1}{2}$x+1中,令x=0可得y=1,令y=0可求得x=2,
∴A(2,0),B(0,1),
如图1,过点C作CE⊥x轴于点E,
∵∠BOA=∠AEC=90°,
∴∠OBA+∠BAO=∠BAO+∠CAE=90°,
∴∠OBA=∠CAE,
在△ABOt△CAE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠CEA}\\{∠OAB=∠CAE}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△ABO≌△CAE(AAS),
∴AE=BO=1,CE=AO=2,
∴OE=3,CE=2,
∴C(3,2);
(2)不论a取任何实数,△BOP都可以看成是以BO为底,点P到y轴的距离1为高的三角形,
∴S△BOP=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$,
∴不论a取任何实数,△BOP的面积都是一个常数;
(3)∵A(2,0),B(0,1),
∴AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{5}{2}$,
当点P在第四象限时,如图2,则a<0,
∵S△ABO=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×1×2=1,S△APO=$\frac{1}{2}$OA•(-a)=-a,S△BOP=$\frac{1}{2}$,
∴S△ABP=S△ABO+S△APO-S△BOP=S△ABC,即1+(-a)-$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$,
∴a=-2;
当点P在第一象限时,如图3,则a>0,
∵S△ABO=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×1×2=1,S△APO=$\frac{1}{2}$OA•a=a,S△BOP=$\frac{1}{2}$,
∴S△ABP=S△BOP+S△APO-S△ABO=S△ABC,即$\frac{1}{2}$+a-1=$\frac{5}{2}$,
∴a=3;
综上可知当△ABC和△ABP的面积相等时a的值为-2或3.
点评 本题为一次函数的综合应用,涉及全等三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中构造三角形全等是解题的关键,在(2)中确定出BO和点P到y轴的距离是解题的关键,在(3)中利用a表示出△ABP的面积是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,难度适中.
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A. | -$\sqrt{2}$ | B. | -2+$\sqrt{2}$ | C. | -2-$\sqrt{2}$ | D. | 1-$\sqrt{2}$ |
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月用水量 | 不超过12吨的部分 | 超过12吨不超过20吨的部分 | 超过20吨的部分 |
收费标准(元/吨) | a | a+1 | 4 |
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