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18.在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(1-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$),以AB为边作正方形ABCD,则该正方形的对角线交点坐标是(1,$\sqrt{2}$)或(1-$\sqrt{2}$,0).

分析 分两种情况:
①点D在第一象限时,作DE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,则∠AED=∠BFA=90°,求出AF=OA+OF=BF,得出△ABF是等腰直角三角形,再证出△ADE是等腰直角三角形,得出DE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$,OE=OA+AE=1+$\sqrt{2}$,得出点D的坐标为(1+$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$),即可得出结果;
②点D在第三象限时,由①得出正方形的对角线交点N的坐标为(1-$\sqrt{2}$,0),即可得出结果.

解答 解:分两种情况:
①点D在第一象限时,如图1所示:
作DE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,则∠AED=∠BFA=90°,
∴∠ADE+∠DAE=90°,
∵A(1,0),B(1-$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$),
∴OA=1,BF=$\sqrt{2}$,OF=$\sqrt{2}$-1,
∴AF=OA+OF=1+$\sqrt{2}$-1=$\sqrt{2}$=BF,
∴△ABF是等腰直角三角形,
∴∠BAF=45°,
∴AB=$\sqrt{2}$AF=2,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB=2,∠BAD=90°,
∴∠DAE=45°,
∴△ADE是等腰直角三角形,
∴DE=AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\sqrt{2}$,
∴OE=OA+AE=1+$\sqrt{2}$,
∴点D的坐标为(1+$\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$),
∴BD的中点M的坐标为(1,$\sqrt{2}$),
即正方形的对角线交点坐标是(1,$\sqrt{2}$);
②点D在第三象限时,如图2所示:
由①得:正方形的对角线交点N的坐标是(1-$\sqrt{2}$,0);
综上所述:该正方形的对角线交点坐标是(1,$\sqrt{2}$)或(1-$\sqrt{2}$,0);
故答案为:(1,$\sqrt{2}$)或(1-$\sqrt{2}$,0).

点评 本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、坐标与图形性质;熟练掌握正方形的性质,由点的坐标得出等腰直角三角形是解决问题的关键,本题需要分类讨论.

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