Question

18．如图，二次函数y=ax²+bx-3的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．该抛物线的顶点为M．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断△BCM的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据勾股定理即勾股定理的逆定里，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得AP，PC的长，根据点的坐标，可得答案．

解答 解：（1）∵函数y=ax²+bx-3的图象经过点A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴二次函数解析式为y=x²-2x-3；
（2）解：△BCM为直角三角形．
如图1，
作MF⊥y轴于F，ME⊥x轴于E
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴顶点M（1，-4）．
当x=0时，y=-3，
∴C（0，-3）．
∴在Rt△CMF中，CM²=CF²+MF²=1²+1²=2，
在Rt△CBO中，CB²=OC²+OB²=3²+3²=18，
在Rt△EMB中，BM²=ME²+BE²=4²+2²=20，
∴CM²+CB²=BM²，
∴∠MCB=90°，
∴△BCM为直角三角形．
（3）如图2，
在坐标轴上存在点P，使得以点P，A，C为顶点的三角形与△BCM相似．
如图分三种情形：①若假设点P在x轴上，构成以AC为斜边的Rt△ACP，由△PAC∽△CMB，得
$\frac{AC}{MB}$=$\frac{AP}{MC}$，$\frac{AP}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}$，
∴AP=1．
由A（-1，0）与点P在x轴上，可知P与原点重合，即点P的坐标为（0，0）．
②假设点P在x轴上，构成以AC为直角边的Rt△ACP，由△ACP∽△MCB，
得$\frac{AC}{MC}$=$\frac{PA}{BM}$，$\frac{PA}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$，
∴PA=10，
∴PO=9，
∴P（9，0）．
③若假设点P在y轴上，构成以 AC 为直角边的 Rt△ACP，
由△ACP∽△CBM，得
$\frac{AC}{BC}$=$\frac{PC}{BM}$，$\frac{PC}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3\sqrt{2}}$，
∴PC=$\frac{10}{3}$，
∴PO=$\frac{1}{3}$，
∴P（O，$\frac{1}{3}$）．
综上所述，符合条件的点P的坐标为（0，0），（9，0），（O，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是勾股定理及勾股定理的逆定理；解（3）的关键是相似三角形的性质，要分类讨论，以防遗漏．