Question

9．如图，一条抛物线经过原点和点C（8，0），A、B是该抛物线上的两点，AB∥x轴，点A坐标为（3，4），点E在线段OC上，点F在线段BC上，且满足∠BEF=∠AOC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若四边形OABE的面积为14，求S_△ECF；
（3）是否存在点E，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线解析式为y=ax（x-8），把点A坐标代入抛物线解析式求出a的值即可；
（2）首先求出点B的坐标，进而求出△BCE的面积，再证明△BEF∽△BCE，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，进而求出△ECF的面积；
（3）分三种情况进行讨论，①当BE=BF时，则∠BEF=∠BFE，②当EB=EF时，则∠EBF=∠EFB，③当FB=FE时，则∠FBE=∠FEB，分别求出点E的坐标即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x-8），
把A（3，4）代入得：4=a•3•（3-8），
∴a=-$\frac{4}{15}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{4}{15}$x（x-8）即y=-$\frac{4}{15}$x²+$\frac{32}{15}$x；

（2）∵AB∥x轴，
∴四边形OABC关于抛物线对称轴对称，
∴∠AOC=∠BCO，
∴B（5，4）
∴AB=2，BC=OA=5，
∵四边形OABE的面积为14，
∴OE=5，
∴CE=3，BE=4，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∵∠BEF=∠AOC=∠BCO，∠EBF=∠CBE，
∴△BEF∽△BCE，
∴$\frac{{{s_{△BEF}}}}{{{s_{△BCE}}}}={（{\frac{BE}{BC}}）^2}$，
即$\frac{{6-{s_{△ECF}}}}{6}={（{\frac{4}{5}}）^2}$，
∴${S_{△ECF}}=\frac{54}{25}$；

（3）存在点E使得△BEF为等腰三角形，
当BE=BF时，则∠BEF=∠BFE，
∵∠BEF=∠ACO=∠BCO，
∴∠BFE=∠BCE，
∴EF与EC重合，
∴∠BEC=∠BEF=∠AOC，
∴OA∥BE，
∵AB∥x轴，
∴OE=AB=2，
∴E（2，0），
当EB=EF时，则∠EBF=∠EFB，
∵△BEF∽△BCE，
∴∠BEC=∠BFE，
∴∠BEC=∠EBF，
∴EC=BC=5，
∴OE=OC-EC=8-5=3，
∴E（3，0），
当FB=FE时，则∠FBE=∠FEB，
∴∠BCO=∠FEB=∠FBE，
∴BE=EC，即点E在BC的中垂线上，
过E作EM⊥BC，垂足为M；过A作AN⊥OC，垂足为N，
则CM=$\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}$，ON=3，OA=5，
∵∠AON=∠ECM，∠ANO=∠EMC，
∴△AON∽△ECM，
∴$\frac{OA}{EC}=\frac{ON}{CM}$即$\frac{5}{EC}=\frac{3}{{\frac{5}{2}}}$，
∴EC=$\frac{25}{6}$，
∴OE=OC-EC=$8-\frac{25}{6}=\frac{23}{6}$，
∴E（$\frac{23}{6}$，0），
∴综上所述，存在点E，点E的坐标为（2，0）或（3，0）或（$\frac{23}{6}$，0）．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求抛物线的解析式，相似三角形的判定与性质等知识点，（1）和（2）两小问比较简单，解决第（3）问需要分三种情况进行讨论，需要熟练利用相似三角形的知识解答，有一定的难度．