Question

【题目】如图，已知⊙O的直径AB＝10，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作AD⊥DE，垂足为D，与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β，且0°＜α＜45°．

（1）求β（用含α的代数式表示）；

（2）连结OF交AC于点G，若AG＝CG，求的长．

Answer 1

【答案】（1）β＝90°﹣2α；（2）

【解析】

（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥DE，证明AD∥OC，根据平行线的性质、等腰三角形的性质计算，得到答案；

（2）连接CF，证明平行四边形AOCF为菱形，得到△AOF为等边三角形，求出∠FAO=60°，根据弧长公式计算即可．

（1）连接OC，

∵DE是⊙O的切线，

∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，

∴AD∥OC，

∴∠DAC＝∠ACO，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠ACO，

∴∠DAC＝∠OAC，

∴∠DAE＝2α，

∵∠D＝90°，

∴2α+β＝90°，

∴β＝90°﹣2α；

（2）连接CF，

∵OA＝OC，AG＝GC，

∴OF⊥AC，

∴FA＝FC，

∴∠FCA＝∠FAC＝∠CAO，

∴FC∥AO，又OC∥AD，

∴四边形AOCF为平行四边形，

∵OA＝OC，

∴平行四边形AOCF为菱形，

∴AF＝OA＝OF，

∴△AOF为等边三角形，

∴∠FAO＝60°，

∴∠AOC＝120°，

∴的长＝．