Question

观察思考
如图，⊙O的半径是，圆心与坐标原点重合，在直角坐标系中，把横坐标、纵坐标都是整数的点称为格点．
（1）写出⊙O上所有格点的坐标．
（2）设上述格点的坐标为P（a，b）．
①若Q（1，-3），是否存在这样的点P，使得直线PQ与⊙O相切？若存在请写出符合条件的一个点P，并予以证明；若不存在，请说明理由．
②求二次函数y=ax²+bx的图象经过第一、二、四象限的概率．

Answer 1

解：（1）根据图形得到满足题意的格点P坐标为：
（1，2），（2，1），（-1，2），（-2，1），（-1，-2），（-2，-1），（1，-2），（2，-1）共8个；

（2）①存在这样的点P，使得直线PQ与⊙O相切，例如P（2，-1），
证明：根据题意画出图形，如图所示：
连接OP，QP，由OM=NP=2，PM=QN=1，且∠PMO=∠QNP=90°，
∴△PMO≌△QNP，∴∠OPM=∠PQN，
∵∠QPN+∠PQN=90°，∴∠OPQ=180°-（∠OPM+∠QPN）=90°，
∴直线PQ是⊙O的切线；
②∵二次函数y=ax²+bx的图象经过第一、二、四象限，
∴a＞0，且-＞0，则b＜0，
满足题意的点P坐标有：（1，-2），（2，-1）共2个，而所有点P坐标有（1，2），（2，1），（-1，2），（-2，1），（-1，-2），（-2，-1），（1，-2），（2，-1）共8个；
∴P==．
分析：（1）根据图形写出所有满足题意的点P的坐标，共有8个；
（2）①存在，连接OP，QP，由“SAS”证明△PMO≌△QNP，从而得到对应角∠OPM=∠PQN，因为∠PQN与∠QPN互余，所以得到∠OPM+∠QPN=90°，根据平角定义得到∠OPQ为直角，故PQ为圆O的切线；
②由二次函数y=ax²+bx的图象经过第一、二、四象限，得到a与b的符号，进而得到满足题意的P坐标的个数为2个，根据概率的求法，利用2除以8即可求出概率．
点评：本题考查了圆的切线性质，事件概率的求法，及全等三角形的知识．切线的证明方法有两种：1、有点连接此点与圆心，证明夹角为直角；2、无点作垂线，证明垂线段等于圆的半径．