Question

【题目】如图，形如量角器的半圆O的直径DE-12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，tan∠ABC= ，BC=12cm半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t（s），当t=0s时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．

（1）点C到直线AB的距离为 ________cm；

（2）当t= ________（s）时，⊙O与AC所在直线第一次相切；当t=________（s）时，⊙O与AC所在直线第二次相切；

（3）当t为何值时，直线AB与半圆O所在的圆相切；

（4）当△ABC的一边所在直线与圆O相切时，若⊙O与△ABC有重叠部分，直接写出重叠部分的面积。

Answer 1

【答案】（1）6；（2）1，7；（3）t为4秒或16秒；（4）6π+9cm2

【解析】

（1）由tan∠ABC=， 可知∠ABC=30°，再根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可知CF=AC=6；

（2）由题意可知，DE为⊙O的直径，即OE=6，OC=8，所以EC=2，⊙O与AC所在的直线第一次相切，即点C与点E重合，也就是t=1时；DC=DE+EC=14，⊙O与AC所在的直线第二次相切，即点D与点E重合时，也就是t=7；

（3）此题有两种情况：第一种情况，直线AB与半圆O相切，即过点O的半径与AB所在的直线垂直，也就是CF⊥AB，即点O与点C重合时，也就是t=4；第二种情况，直线Ab与半圆O相切，即点O运动到点B的右侧时，即过点O的半径与AB的延长线垂直，此时OC=24，也就是t=(24+8)÷2=16；

（4）此题有三种情况：第一种情况是⊙O与AC第一次相切时，此时⊙O与△ABC没有重叠部分；第二种情况是O与AB相切时，此时重叠的部分为O的四分之一，即为9πcm2；第三种情况是O与AC第二次相切时，此时⊙O的直径DE与△ABC的边BC重合，重叠部分的面积等于△BOG与扇形GOC的和，即6π+9cm2

（1）由tan∠ABC=， 可知∠ABC=30°，再根据在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，可知CF=AC=6；

（2）由题意可知，DE为⊙O的直径，即OE=6，OC=8，所以EC=2，⊙O与AC所在的直线第一次相切，即点C与点E重合，也就是t=1时；DC=DE+EC=14，⊙O与AC所在的直线第二次相切，即点D与点E重合时，也就是t=7；

（3）解：如图2，过C作CF⊥AB于F ， 同理得：OF=6，

当直线AB与半圆O所在的圆相切时，又∵圆心O到AB的距离为6，半圆的半径为6，

且圆心O又在直线BC上，∴O与C重合，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，

此时，点O运动了8cm ， 所求运动时间t=8÷2=4；

如图3，当点O运动到B点的右侧时，且OB=12，过O作OQ⊥AB ， 交直线AB于Q ，

在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，则OQ= OB=6，即OQ与半圆O所在的圆相切，此时点O运动了12+12+8=32cm ， 所求运动时间t=32÷2=16，

综上所述，当t为4秒或16秒时，直线AB与半圆O所在的圆相切

（4）解：重叠部分的面积为/span>9πcm2或（6π+9 ）cm2 ． 有两种情况：

①当半圆O与AB边相切于F时，如图1，重叠部分的面积S= π×62=9π；

②当半圆O与AC相切于C时，如图4，连接OG ，

∵BC=DE=12，∴C与D重合，E与B重合，∵OG=OB ， ∴∠ABC=∠OGB=30°，

∴∠COG=60°．过O作OH⊥AB于H ， ∵OB=6，∴OH= OB=3，

由勾股定理得：BH=3 ，∴BG=2BH=6 ，此时重叠部分的面积S= + ×6 ×3=6π+9 ；

综上所述，重叠部分的面积为9πcm2或（6π+9 ）cm2

圆的综合题

解：（1）如图1，过C作CF⊥AB于F ，

Rt△BCF中，∵tan∠ABC= ∴∠ABC=30°，BC=12，

∴CF= BC=6，故答案为：6

；

（2）∵DE=12，∴OE=OD=6，∵OC=8，∴EC=8-6=2，∴t=2÷2=1，

∴当t=1s时，⊙O与AC所在直线第一次相切；∴DC=8+6=14，∴t=14÷2=7，

∴当t=7s时，⊙O与AC所在直线第二次相切；故答案为：1，7