如图1.△ABC为等边三角形.面积为S．D1.E1.F1分别是△ABC三边上的点.且AD1=BE1=CF1=12AB.连接D1E1.E1F1.F1D1.可得△D1E1F1是等边三角形.此时△AD1F1的面积S1=14S.△D1E1F1的面积S1=14S．(1)当D2.E2.F2分别是等边△ABC三边上的点.且AD2=BE2=CF2=13AB时如图2.①求证:△D2E2F2是等� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图1，△ABC为等边三角形，面积为S．D₁、E₁、F₁分别是△ABC三边上的点，且AD₁=BE₁=CF₁=

AB，连接D₁E₁、E₁F₁、F₁D₁，可得△D₁E₁F₁是等边三角形，此时△AD₁F₁的面积S₁=

S，△D₁E₁F₁的面积S₁=

S．
（1）当D₂、E₂、F₂分别是等边△ABC三边上的点，且AD₂=BE₂=CF₂=

AB时如图2，
①求证：△D₂E₂F₂是等边三角形；
②若用S表示△AD₂F₂的面积S₂，则S₂=______；若用S表示△D₂E₂F₂的面积S₂′，则S₂′=______．
（2）按照上述思路探索下去，并填空：
当D_n、E_n、F_n分别是等边△ABC三边上的点，AD_n=BE_n=CF_n=

n+1

AB时，（n为正整数）△D_nE_nF_n是______三角形；
若用S表示△AD_nF_n的面积S_n，则S_n=______；若用S表示△D_nE_nF_n的面积S_n′，则S′_n=______．

（1）①∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，（1分）
由已知得AD₂=

AB，BE₂=

BC，CF2=

AC
∴AF₂=

AC，BD₂=

AB
∴AD₂=BE₂，AF₂=BD₂（2分）
△AD₂F₂≌△BE₂D₂（3分）
∴D₂E₂=F₂D₂
同理可证△AD₂F₂≌△CF₂E₂
F₂D₂=E₂F₂（4分）
∴D₂E₂=E₂F₂=F₂D₂
∴△D₂E₂F₂为等边三角形；（5分）
②S2=

S；（6分）
S′₂=S-

S×3=

S（7分）

（2）由（1）可知：△D_nE_nF_n等边三角形；（8分）
由（1）的方法可知：S2=

S，S₃=

S，…Sn=

(n+1)2

S；（9分）
S₂′=

S，S₃′=

S…Sn′=

n2-n+1

n2+2n+1

S．（10分）

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A．2

B．4

C．

D．2

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A．1

B．1.5

C．2

D．3

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为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可．
如图，已知AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，延长BC，使CE=CD，连接DE，求证：BC+DC=AC．
思路点拨：
（1）由已知条件AB=AD，∠BAD=60°，可知：△ABD是______三角形；
（2）同理由已知条件∠BCD=120°得到∠DCE=______，且CE=CD，可知______；
（3）要证BC+DC=AC，可将问题转化为两条线段相等，即______=______；
（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明…．请你完成证明过程：