Question

17．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S_△ADE：S_△CDB的值等于（　　）

• A． 1：$\sqrt{2}$
• B． 1：$\sqrt{3}$
• C． 1：2
• D． 2：3

Answer 1

分析 由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，根据三角形的角平分线定理得到$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求出AD=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+3}$AB，BD=$\frac{3}{\sqrt{3}+3}$AB，过C作CF⊥AB于F，连接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵CE平分∠ACB交⊙O于E，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+3}$AB，BD=$\frac{3}{\sqrt{3}+3}$AB，
过C作CF⊥AB于F，连接OE，
∵CE平分∠ACB交⊙O于E，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴OE⊥AB，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$AB，
∴S_△ADE：S_△CDB=（$\frac{1}{2}$AD•OE）：（$\frac{1}{2}$BD•CF）=（$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}+3}AB•\frac{1}{2}AB$）：（$\frac{1}{2}×\frac{3}{\sqrt{3}+3}AB•\frac{\sqrt{3}}{4}AB$）=2：3．
故选D．
方法二：连接BE，易知AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
由△ADE∽△CDB，
∴S_△ADE：S_△BDC=（AE：BC）²=2：3，
故选D．

点评 本题考查了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．