Question

如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，BE=1，求∠BAC的度数．（精确到0.1度）

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）连结AD、OD，如图先根据圆周角定理得到∠ADC=90°，再利用等腰三角形的性质证明OD为△ABC的中位线，然后根据平行线的性质得到DE⊥OD，再利用切线的判定定理得到结论；
（2）先证明Rt△ADE∽Rt△ABD，利用相似比计算出AD=

30

，再在Rt△ADE中利用余弦的定义求出∠DAE的度数，然后根据等腰三角形的性质得到∠BAC的度数．

解答：（1）证明：连结AD、OD，如图，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而OA=OC，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB=AC=6，AD垂直平分BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠DAE=∠BAD，
∴Rt△ADE∽Rt△ABD，
∴AD：AB=AE：AD，即AD：6=5：AD，
∴AD=

30

，
在Rt△ADE中，∵cos∠DAE=

AE

AD

=

5

30

=

30

6

，
∴∠DAE≈23.4°，
∴∠BAC=46.8°．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．