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    精英家教网如图，直角梯形ABCD中，∠DAB=60°，AC平分∠DAB，CB=6cm．点Q、P分别是AB、CD边上的动点，点P从C点出发，以0.5cm/s的速度向D点移动；点Q从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动；设Q、P同时出发，移动时间为t（s），当一个点停止移动，另一个也随之停止移动．
    （1）求CD的长；
    （2）t为何值时，四边形AQPD是等腰梯形？
    （3）连接PQ，设PQ与AC的交点为O，求△AOQ的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数关系；
    （4）过Q点作QE⊥AD于E，问是否存在某一时刻t，使得四边形AQPD是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
    分析：（1）易证△ADC是等腰三角形，作DM⊥AB，在直角△ADM中，即可根据三角函数求得AD的长，作DF⊥AC于F，则CF的长即可求得，进而求得CD的长；
    （2）设四边形AQPD为等腰梯形，作PN⊥AB于N，作DM⊥AB于M．则当AQ=AM+AM+PD时，四边形是等腰梯形，即可求得t的值；
    （3）根据△AOQ∽△COP，相似三角形的对应边的比相等，即可求得AO的长，根据三角函数即可求得OR的长度，根据三角形的面积公式即可求解；
    （4）当PQ∥AD，即PD=AQ时，PD=AD，则四边形是菱形，据此即可得到关于时间t的方程，从而求解．
    解答：解：（1）在直角△ABC中，∠CAB=30°，
    ∴AC=12cm，
    作PN⊥AB，△DAC是等腰三角形，且∠DCA=30°．
    作DF⊥AC于F，则CF=
    1
    2
    AC=6cm．
    ∴CD=
    CF
    cos30°
    =4
    		3
    cm．

    （2）设四边形AQPD为等腰梯形，作PN⊥AB于N．作DM⊥AB于M．
    则AM=QN=
    1
    2
    AD=2
    		3
    cm．精英家教网
    又∵PD=MN=4
    		3
    -0.5t，AQ=t，
    ∴2
    		3
    +2
    		3
    +（4
    		3
    -0.5t）=t，
    解得：t=
    16
    3
    		3
    ；

    （3）∵△AOQ∽△COP，
    ∴
    AO
    OC
    =
    AQ
    CP
    =
    t
    0.5t
    =
    1
    2
    ，
    又∵AC=12，
    ∴AO=8
    作OR⊥AB于R，则OR=AO×sin30°=4，
    ∴s=
    1
    2
    ×AQ×OR=
    1
    2
    ×t×4=2t；

    （4）当PQ∥AD，即PD=AQ时，且DP=AD．
    由4
    		3
    -0.5t=t，得：t=
    8
    		3
    3
    ．
    而AD=
    BC
    sin60°
    =
    6
    		3
    2
    =4
    		3
    ，
    故t不存在．
    点评：本题主要考查了三角函数以及相似三角形的判定与性质，关键是理解四边形AQPD是等腰梯形的条件．
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