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如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线y=
k
x
相交于点A,B.已知点B的坐标为(-2,-2),点A在第一象限内,且tan∠AOx=4.过点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C.
(1)请直接写出双曲线和直线AB的解析式,求出抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上能否找到点D,使△BCD周长最短,请求出点D的坐标和直接写出此时△BCD周长;
(2)在直线AB的下方的抛物线上找一点P,使△ABP的面积最大.并求出点P的坐标和△ABP的最大面积.
考点:二次函数综合题
专题:
分析:(1)根据题干中的数据可以直接求出双曲线和直线AB的解析式,根据抛物线y=ax2+bx过A(1,4),B(-2,2),列出二元一次方程组,求出a和b的值即可;
(2)要使△BCD周长最短,则点D为直线AB与抛物线对称轴x=-
3
2
的交点,求出D点的坐标,进而求出△BCD的周长;
(3)可以根据两种方法解决此小题,①设过P点的直线与直线AB平行,且抛物线只有一个交点时,△ABP的面积最大,②设点P(a,a2+3a),过点P作PH垂直于x轴交AB于H点,
都要求出P点的坐标,再求△ABP的最大面积.
解答:解:(1)双曲线解析式为y=
4
x
,直线解析式为y=2x+2;
设A点坐标为(m,n),tan∠AOx=
n
m
=4,又知n=2m+2,
解得m=1,n=4,A点坐标为(1,4),
由题意得:y=ax2+bx过A(1,4),B(-2,-2)得:
4=a+b
-2=4a-2b

解得a=1,b=3,
即抛物线的解析式为y=x2+3x;

(2)由题意得:点C关于抛物线对称轴的对称点为A,所以点D为直线AB与抛物线对称轴x=-
3
2
的交点.
所以
y=2x+2
x=-
3
2
,即
x=-
3
2
y=-1
,D点的坐标为(-
3
2
,-1),
△BCD的周长=|BC|+|AB|=3
5
+2
10

即△BCD的周长为3
5
+2
10


(3)法(一)设过P点的直线与直线AB平行,且抛物线只有一个交点时,△ABP的面积最大.
∵直线AB为y=2x+2,∴设过P点的直线为y=2x+b,
y=2x+b
y=x2+3x

即2x+b=x2+3x,
△=1+4b=0,
解得b=-
1
4

y=2x-
1
4
y=x2+3x

x=-
1
2
y=-
5
4

法(二)设点P(a,a2+3a),过点P作PH垂直于x轴交AB于H点,
则∴H(a,2a+2),
∴PH=2-a-a2
∴S△ABP=
1
2
(2-a-a2)•3=-
3
2
(a+
1
2
)2+
27
8

∴当a=-
1
2
,即P(-
1
2
,-
5
4
),
则S△ABPmax=
27
8
点评:本题主要考查二次函数的综合题的知识,解答本题的关键是熟练掌握对称的知识,解答第三问的时候不止一种方法求出P点的坐标,此题难度一般.
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x
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1
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3
4
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