Question

15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=6，sin∠AOH=$\frac{4}{5}$，点B的坐标为（m，-4）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．

Answer 1

分析 （1）通过解直角三角形可得出点A的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出反比例函数解析式，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，根据点A、B的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积．

解答 解：（1）在Rt△AOH中，∠AHO=90°，OH=6，sin∠AOH=$\frac{4}{5}$，
∴AH=8，
∴点A的坐标为（-8，6）．
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴k=-8×6=-48，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{48}{x}$．
∵点B的坐标为（m，-4），点B在反比例函数y=-$\frac{48}{x}$的图象上，
∴m=-$\frac{48}{-4}$=12，
∴点B的坐标为（12，-4）．
将点A（-8，6）、B（12，-4）代入y=ax+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{-8a+b=6}\\{12a+b=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2．
（2）当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x+2=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（x_B-x_A）=$\frac{1}{2}$×2×[12-（-8）]=20．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）通过解直角三角形找出点A的坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征找出点C的坐标．