Question

19．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于D． E为弧AD上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE²=EF•EB
（1）求证：E是弧AD的中点；
（2）求证：CB=CF；
（3）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=$\frac{3}{5}$ 求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由AE²=EF•EB，得到△AEF∽△BEA，得到∠EAF=∠ABE，问题即可得证；
（2）如图1，通过相似三角形（△AEF∽△AEB）的对应角相等推知，∠1=∠EAB；又由弦切角定理、对顶角相等证得∠2=∠3；最后根据等角对等边证得结论；
（3）如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．根据（1）中的相似三角形的性质证得∠4=∠5，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点E是弧AD的中点，则OE⊥AD；然后通过解直角△ABC求得cos∠C=sin∠GAO=$\frac{r-1}{r}$=$\frac{3}{5}$，则以求r的值．

解答 （1）证明：∵AE²=EF•EB，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{EB}{AE}$，
∵∠AEB=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴∠EAF=∠ABE，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{DE}$，
∴E是弧AD的中点；

（2）证明：如图1，
∵AE²=EF•EB，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{EF}{AE}$，
又∵∠AEF=∠AEB，
∴△AEF∽△AEB，
∴∠1=∠EAB．
∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，
∴∠2=∠3，
∴CB=CF；

（3）解：如图2，连接OE交AC于点G，设⊙O的半径是r．
由（1）知，△AEF∽△AEB，则∠4=∠5．
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{ED}$，
∴OE⊥AD，
∴EG=1．
∵cos∠C=$\frac{3}{5}$，且∠C+∠GAO=90°，
∴sin∠GAO=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{OG}{OA}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{r-1}{r}$=$\frac{3}{5}$，
解得r=$\frac{5}{2}$，即⊙O的半径是$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质．解答（2）题的难点是推知点E是弧AD的中点．