Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m）(m≠0)．将点A绕点P顺时针旋转90°，得到点M，将点O绕点Q顺时针旋转90°，得到点N，连接MN，称线段MN为线段AO的伴随线段．

（1）如图1，若m=1，则点M，N的坐标分别为 ， ；

（2）对于任意的m，求点M，N的坐标（用含m的式子表示）；

（3）已知点B（，t），C（，t），以线段BC为直径，在直线BC的上方作半圆，若半圆与线段BC围成的区域内（包括边界）至少存在一条线段AO的伴随线段MN，直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）(1,2)，(1,1) ．（2）(m,2 m)，(m, m)．（3） ．

【解析】

（1）把m=1分别代入点A，P，Q的坐标中，依据题意进行操作即可得到M，N的坐标；

（2）根据点A，P，Q的坐标求出AP，OP，OQ的长，再根据旋转的性质可求出M，N的坐标；

（3）分m为正数和负数两种情况讨论求解即可.

（1）∵A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m）

∴当m=1时，A（0，3），P（0，2），Q（0，1）

∵点A绕点P顺时针旋转90°，得到点M，

∴M（1，2）

∵点O绕点Q顺时针旋转90°，得到点N，

∴N(-1,1)，如图所示：

（2）∵A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m）

∴AP=m，OP=2m，OQ=m

∵点A绕点P顺时针旋转90°，得到点M，

∴M（m，2m）

∵点O绕点Q顺时针旋转90°，得到点N，

∴N(-m，m)；

（3）∵点B（，t），C（，t），

∴BC=2

以线段BC为直径，在直线BC的上方作半圆，如图所示，

①当m为正数时，半圆中线段MN的最大值是N在BC上，M在弧上，

此时△PQM是等腰直角三角形，

∴，即

解得m=1或m=-1(舍去)，

∴QO=1，

∴t=1;

②当m为负数时，半圆中线段MN的最小值是M在BC上，N在弧上，此时△PQM是等腰直角三角形，如图，

∴，即

解得m=-1或m=1(舍去)，

∴PO=2，

∴t=-2;

故