Question

【题目】如图，直线l：y＝x﹣2分别交x，y轴于A、B两点，C、D是直线l上的两个动点，点C在第一象限，点D在第三象限．且始终有∠COD＝135°．

（1）求证：△OAC∽△DBO；

（2）若点C、D都在反比例函数y＝的图象上，求k的值；

（3）记△OBD的面积为S1，△AOC的面积为S2，且＝，二次函数y＝ax2+bx+c满足以下两个条件：①图象过C、D两点；②当S1xS2时，y有最大值2，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先求出点A，点B坐标，可求∠OAB＝∠OBA＝45°，由外角的性质可求∠DOB＝∠ACO，∠AOC＝∠ODB，可证△OAC∽△DBO；

（2）由相似三角形的性质可得，设＝a＞0，用a表示点C，点D坐标，代入反比例函数解析式，可求解；

（3）先求出点C，点D坐标，代入解析式，由题意可得当x＝2时，y有最大值2，组成方程组，可求a的值.

解：（1）∵直线l：y＝x﹣2分别交x，y轴于A、B两点，

∴点A（2，0），点B（0，﹣2），

∴AO＝BO＝2，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

∴∠OCA+∠AOC＝45°，∠ODB+∠DOB＝45°，

∵∠COD＝135°，

∴∠DOB+∠AOB+∠AOC＝135°，

∴∠DOB+∠AOC＝45°，

∴∠DOB＝∠ACO，∠AOC＝∠ODB，

∴△OAC∽△DBO；

（2）如图，过点C作CF⊥x轴于F，过点D作DE⊥y轴于E，

∵△OAC∽△DBO，

∴,

∴设＝a＞0，

∴BD＝，AC＝2a，

∵∠CAF＝∠OAB＝45°，

∴∠ACF＝∠CAF＝45°，

∴AF＝CF＝＝a，

∴点C坐标（2+a，a），

同理可求点D坐标（﹣，﹣2﹣），

∵点C、D都在反比例函数y＝的图象上，

∴（2+a）a＝（2+）

∴（a2+2a+）（a+1）（a﹣1）＝0，

∵a＞0，

∴a2+2a+≠0，a+1≠0，

∴a﹣1＝0，

∴点C（2+，）

∴k＝（2+）＝；

（3）∵△OAC∽△DBO，

∴,

∴,

∴AC＝2，

∴AF＝CF＝2，

∴点C（4，2），

∵，

∴ ,

∴BD＝，

∴DE＝BE＝1，

∴点D（﹣1，﹣3），

∴△OBD的面积为S1＝×2×1＝1，△AOC的面积为S2＝×2×2＝2，

∵二次函数y＝ax2+bx+c满足以下两个条件：①图象过C、D两点；②当1≤x≤2时，y有最大值2，

∴，

解得： ，

∴a＝.