Question

如图，点D是△ABC的外接圆的弧

BC

的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：BE=CF．

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：首先连接BD，CD，由点D是△ABC的外接圆的弧

BC

的中点，可得BD=CD，∠BAD=∠CAD，又由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，可得DE=DF，然后由HL证得Rt△BDE≌Rt△CDF，继而证得结论．

解答：证明：连接BD，CD，
∵点D是△ABC的外接圆的弧

BC

的中点，
∴

BD

=

CD

，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD=CD DE=DF

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF．

点评：此题考查了圆周角定理、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．