【题目】如图1,矩形AOCB在坐标系中,A、C分别在y轴、x轴的正半轴上,AB>AO,矩形AOCB周长为18,面积为18.
(1)求B点坐标;
(2)如图2,E、D、G分别在OC、AB、BC上,连接ED、OG,若OG⊥ED于F,OE=2AD,设D点横坐标为t,求CG的长(用含t的代数式表示);
(3)如图3,在(2)的条件下,M是AB中点,连接FM并延长FM至P,连OP交AB于Q,若DQ=,∠OPF=∠COG=β,求t的值.
【答案】(1)(6,3);(2)2t;(3)
【解析】
(1)设B点坐标为(m,n),根据矩形周长和面积的值列方程组求解.
(2)作DH⊥OC于H,可证△DHE△OCG,由相似比可得CG=2HE=2AD.
(3)作MN⊥OC于N,交OG于K,连接OD,设DE与OQ交于点R.先证DMKF四点共圆,进而得出∠KFM=45°,再导角推出OP是∠AOG的角平分线,然后可以导出△DRQ和△EOR均为等腰三角形,于是DE的长可用t表示出来.注意到∠AOD与∠NOK相等,可推出OD=DE,最后利用直角三角形AOD列勾股方程解出t的值.
解:(1)设B点坐标为(m,n).
由题意可知:
,
解得:,
∴B点坐标为(6,3).
(2)如图2,作DH⊥OC于H.
则∠DHE=90°,
∴∠HDE+∠DEH=90°,
∵DH⊥OG于F,
∴∠GOC+∠DEH=∠OFE=90°,
∴∠HDE=∠COG,
∵∠OCG=90°=∠DHE,
∴△DHE△OCG,
∴,
∵B(6,3),
∴AB=OC=6,AO=DH=BC=3,
∴,
∴CG=2HE,
∵D点横坐标为t,
∴OH=AD=t,
∴OE=2AD,
∴HE=OH=t,
∴CG=2HE=2t.
(3)如图3,作MN⊥OC于N,交OG于K,连接OD.
∵M为AB中点,
∴AM=BM=ON=CN=AO=BC=MN=3,KN=CG=t,
∴KN=AD,所以DM=KM,
∵∠DFK=∠DMK=90°,
∴DFKM四点共圆,
∴∠DFM=∠KFM=45°,
∵∠KFM=∠OPF+∠FOP,
∴∠FOP+β=45°,
∴2∠FOP+2β=90°,
∵∠AOC=90°,
∴∠AOQ+∠FOP+∠COG=∠AOQ+∠FOP+2β=90°,
∴∠AOQ=∠FOP,
∵∠OAQ=∠OFR=90°,
∴∠ORF=∠OQA,
∵∠ORF=∠DRQ,∠OQA=∠ROE,
∴∠DRQ=∠OQA,∠ROE=∠ORF,
∴DR=DQ=,RE=OE=2t,
∴DE=DR+RE=+2t,
∵tan∠AOD===tan∠NOK,
∴∠AOD=∠NOK,
∵∠AOD+∠DOE=∠NOK+∠OEF=90°,
∴∠DOE=∠OEF,
∴OD=DE=+2t,
在Rt△AOD中:OA2+AD2=OD2,
∴9+t2=,
解得t=.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在一个可以自由转动的转盘中,指针位置固定,三个扇形的面积都相等,且分别标有数字1,2,3.
(1)小明转动转盘一次,当转盘停止转动时,指针所指扇形中的数字是奇数的概率为________;
(2)小明先转动转盘一次,当转盘停止转动时,记录下指针所指扇形中的数字;接着再转动转盘一次,当转盘停止转动时,再次记录下指针所指扇形中的数字,求这两个数字之和是3的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,已知二次函数y=ax2+x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.
(1)请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式;
(2)判断△ABC的形状,并说明理由;
(3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请写出此时点N的坐标;
(4)如图2,若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN面积最大时,求此时点N的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,折叠该纸片,使得AB边落在对角线AC上,点B落在点F处,折痕为AE,则EF=_____cm.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知∠MON=30°,点A1,A2,A3,…在射线ON上,点B1,B2,B3,…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形,若OA2=4,则△AnBnAn+1的边长为__________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】证明题:本题须有完整过程,需要括号中的理由,只限本学期所学
如图,在中,是边上的中线,,,与交于点,连接.
(1)求证:;
(2)若,求证:四边形是菱形.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了提高学生对毒品危害性的认识,我市相关部门每个月都要对学生进行“禁毒知识应知应会”测评.为了激发学生的积极性,某校对达到一定成绩的学生授予“禁毒小卫士”的荣誉称号.为了确定一个适当的奖励目标,该校随机选取了七年级20名学生在5月份测评的成绩.数据如下:
收集数据:90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88
整理、描述数据:
成绩/分 | 88 | 89 | 90 | 91 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 |
学生人数 | 2 | 1 | 3 | 2 | 1 | 2 | 1 |
数据样本数据的平均数、众数和中位数如下表
平均数 | 众数 | 中位数 |
93 |
应用数据
(1)由上表填空:________,________,________,________,
(2)根据所给数据,如果该校想确定七年级前的学生为“良好”等次,你认为“良好”等次的测评成绩至少定为________分.
(3)根据数据分析,该校决定在七年级授予测评成绩前的学生“禁毒小卫士”荣誉称号.请估计评选该荣誉称号的最低分数,并说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】二次函数的图象如图所示,点位于坐标原点, 点,,,…,在y轴的正半轴上,点,,,…,在二次函数位于第一象限的图象上,若△,△,△,…,都为等边三角形,则的边长= .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm.动点M,N从点C同时出发,均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A,B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动,连接PM,PN,设移动时间为t(单位:秒,0<t<2.5).
(1)当t为何值时,以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似?
(2)是否存在某一时刻t,使四边形APNC的面积S有最小值?若存在,求S的最小值;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com