Question

1．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AB=AC，B（3，5），抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c交x轴于C、D两点，且经过点B．
（1）求抛物线的表达式．
（2）在线段BC上方的抛物线上是否存在点F，使△BEF的面积最大？若存在，求出点F坐标；若不存在，说明理由．
（3）点G在第二象限内的抛物线上，若△BEG的面积等于3，是否存在点G？若存在，求出点G坐标；若不存在，说明理由．
（4）点M（4，K）在抛物线上，连接CM，在直线CM上是否存在点P，使△DEP是直角三角形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件求得C点的坐标，进而根据待定系数法即可求得；
（2）根据平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时△BEF的面积最大，先求出直线BC的解析式为y=x+2，再设出平行于直线BC的直线的解析式y=x+b，然后与抛物线联立，消掉未知数y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出b值，再求出点P的坐标；
（3）设G点（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+5）（-2＜x＜0），根据S_△BEG=S_梯形GHAB-S_梯形GHOE-S_梯形EOAB得出S_△BEG=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$=3，再解方程即可；
（4）求得直线CM和ED的解析式，然后分三种情况分别讨论即可求得．

解答 解：（1）如图1，∵△ABC是等腰直角三角形，∠CAB=90°，
∴AB∥y轴，
∵B（3，5），
∴AC=AB=5，OA=3，
∴OC=2，
∴C（-2，0），
∵抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c交x轴于C、D两点，且经过点B．
∴$\left\{\begin{array}{l}{5=-\frac{9}{2}+3b+c}\\{0=-2-2b+c}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+5；
（2）根据三角形的面积，当平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时△BEF的面积最大，
∵B（3，5），C（-2，0），
∴直线BC为y=x+2，
∴E（0，2），
设与直线BC平行的直线为y=x+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+5}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，
消掉y得，x²-x+2b-10=0，
△=（-1）²-4×1×（2b-10）=0，
即b=$\frac{41}{8}$时，直线与抛物线只有一个交点，△BEF的面积最大，此时，x=-$\frac{-1}{2×1}$=$\frac{1}{2}$，
y=$\frac{1}{2}$+$\frac{41}{8}$=$\frac{45}{8}$，
所以，点F的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{45}{8}$），
（2）如图：设G点（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+5）（-2＜x＜0）
则S_△BEG=S_梯形GHAB-S_梯形GHOE-S_梯形EOAB
=$\frac{1}{2}$（GH+AB）•AH-$\frac{1}{2}$（GH+OE）•OH-$\frac{1}{2}$（OE+AB）•OA=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+5+5）（-x+3）-$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+5+2）（-x）-$\frac{1}{2}$（2+5）×3=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$，
若△BEG的面积等于3，则-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{2}$=3
解得：x₁=-1，x₂=2（舍去），
当x=1时，y=3，
则G点的坐标是（-1，3）；
（4）∵点M（4，K）在抛物线上，
∴K=-$\frac{1}{2}$×16+$\frac{3}{2}$×4+5=3，
∴M（4，3），
∵C（-2，0），
∴直线CM的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1，
令-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+5=0，解得x=-2或5，
∴D（5，0），
∵E（0，2），
∴直线ED的解析式为y=-$\frac{2}{5}$x+2，
①当∠EDP=90°时，设直线PD的解析式为y=$\frac{5}{2}$x+n，
把D（5，0）代入得，0=$\frac{5}{2}$×5+n，
∴n=-$\frac{25}{2}$，
∴直线PD的解析式为y=$\frac{5}{2}$x-$\frac{25}{2}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{2}x-\frac{25}{2}}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{27}{4}}\\{y=\frac{35}{8}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{27}{4}$，$\frac{35}{8}$）；
②当∠DPE=90°时，设P（x，$\frac{1}{2}$x+1），
∴x²+（$\frac{1}{2}$x+1-2）²+（x-5）²+（$\frac{1}{2}$x+1）²=2²+5²，
解得，x=2±$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
∴P（2+$\frac{2}{5}$$\sqrt{30}$，2+$\frac{4}{5}$$\sqrt{30}$）或（2-$\frac{2}{5}$$\sqrt{30}$，2-$\frac{4}{5}$$\sqrt{30}$）；
③当∠PED=90°时，直线PE的解析式为y=$\frac{5}{2}$x+m，
把E（0，2）代入得，m=2，
∴直线PD的解析式为y=$\frac{5}{2}$x+2，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{2}x+2}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）；
综上，使△DEP是直角三角形的P点的坐标为（$\frac{27}{4}$，$\frac{35}{8}$）或（2+$\frac{2}{5}$$\sqrt{30}$，2+$\frac{4}{5}$$\sqrt{30}$）或（2-$\frac{2}{5}$$\sqrt{30}$，2-$\frac{4}{5}$$\sqrt{30}$）或（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、梯形的面积公式、一次函数、二次函数的图象和性质，注意数形结合思想和分类讨论思想的应用．