Question

17．△ABC为⊙O的内接三角形，半径为$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，BC=7，AC=5，则AB=8．

Answer 1

分析 根据正弦定理得$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{AB}{sinC}$=2R=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$求得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinB=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，根据同角的三角函数的关系得到cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{1}{2}$，cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{11}{14}$，于是得到结论．

解答 解：∵△ABC为⊙O的内接三角形，
由正弦定理得：$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{AB}{sinC}$=2R=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$，
∵BC=7，AC=5，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinB=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{1}{2}$，cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{11}{14}$，
∴sinC=sin（A+B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{11}{14}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴AB=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$×sinC=8．
故答案为：8．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心，正弦定理，同角的三角函数，熟练掌握正弦定理是解题的关键．