【题目】如图,△ABC中,AE⊥BC于E,点D在∠ABC的平分线上,AC与BD交于F,连CD,∠ACD+2∠ACB=180°,AB=2EC,BD=2,BE=3,则AF=______.
【答案】
【解析】
延长AC至G,使CG=DC,构造连接△DCB≌△GCB(SAS),过A作AP∥BG交BC的延长线于P,连接AD,由M是中点、AE⊥BC,AB=2CE,BD是∠ABC的平分线,可得∠ABD=∠MCB=∠DBC=∠PBG=∠P=α,MC∥BG∥AP,从而AC=CG,BC=CP、BG=AP,由此得到△ACD是等腰三角形,由∠ACD+2∠ACB=180°进一步得到AD∥BC,AD=AP,由勾股定理计算AC、EC的长,再由平行线分线段成比例可得AF长.
解:取AB中点M.连接ME、MC,
∵BD平分∠ABC,
∴设∠ABD=∠CBD=α,
∵AE⊥BC,AB=2CE,
∴ME=BM=EC,
∴∠ABC=∠MEB,∠EMC=∠CME,
∴∠ABC═∠MEB=2∠MCB=2α
∴设CE=x,则AB=2x,
延长AC至G,使CG=DC,连接BG,过A作AP∥BG交BC的延长线于P,
∵∠ACD+2∠ACB=180°,
∴∠BCD=180°-∠ACB,
∵∠BCG+∠ACB=180°,
∴∠BCD=∠BCG,
∵BC=BC,
∴△DCB≌△GCB(SAS),
∴BG=BD,
∴∠CBD=∠CBG=α,
又∵∠MCB=α
∴MC∥BG∥AP,
又∵M是AB的中点,
∴AC=CG,BC=PC,
∴△ACP≌△GCB(SAS),
∴BG=AP,AC=CD,
∴∠DAC=∠ADC,
∴2∠CAD+∠ACD=180°,
又∵∠ACD+2∠ACB=180°,
∴∠ACB=∠DAC,
∴AD∥BP
∴∠ADB =∠DBC=α,
∴AD=AB=2x,
在△ABP中,AB=2x,BE=3,CE=x,CP=(x+3),AP=,AE⊥BC,
∴,
解得:x=2,x=(舍去),
∴AB=4,BC=5,AE=,AC=
,
∵,
∴,
故答案为.
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【题目】张老师计划通过步行锻炼身体,她用运动手环连续记录了6天的运动情况,并用统计表和统计图记录数据:
日期 | 4月1日 | 4月2日 | 4月3日 | 4月4日 | 4月5日 | 4月6日 |
步行数(步) | 10672 | 4927 | 5543 | 6648 | ||
步行距离(公里) | 6.8 | 3.1 | 3.5 | 4.6 | ||
卡路里消耗(千卡) | 157 | 73 | 82 | 107 | ||
燃烧脂肪(克) | 20 | 10 | 12 | 16 |
(1).请你将手环记录的4
(2).请你将条形统计图(如图②)补充完整.
(3).张老师这6天平均每天约步行____公里,张老师分析发现每天步行距离和消耗的卡路里近似成正比例关系,她打算每天消耗的卡路里至少达到100千卡,那么每天步行距离大约至少为_____公里(精确到0.1公里).
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【题目】如图,以点O为圆心,AB长为直径作圆,在⊙O上取一点C,延长AB至点D,连接DC,过点A作⊙O的切线交DC的延长线于点E,且∠DCB=∠DAC.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AD=6,tan∠DCB=,求AE的长.
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【题目】某校教师开展了“练一手好字”的活动,校委会对部分教师练习字帖的情况进行了问卷调查,问卷设置了“柳体”、“颜体”、”欧体“和”其他“类型,每位教师仅能选一项,根据调查的结果绘制了如下统计表:
类别 | 柳体 | 颜体 | 欧体 | 其他 | 合计 |
人数 | 4 | 10 | 6 | ||
占的百分比 | 0.5 | 0.25 | 1 |
根据图表提供的信息解答下列问题:
(1)这次问卷调查了多少名教师?
(2)请你补全表格.
(3)在调查问卷中,甲、乙、丙、丁四位教师选择了“柳体”,现从以上四位教师中任意选出2名教师参加学校的柳体兴趣小组,请你用画树状图或列表的方法,求选出的2人恰好是乙和丙两位教师的概率.
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【题目】如图,已知矩形纸片ABCD,点E是AB的中点,点G是BC上的一点,∠BEG>60°.现沿直线EG将纸片折叠,使点B落在纸片上的点H处,连接AH,则与∠BEG相等的角的个数为( )
A. 5B. 3C. 2D. 1
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知正方形ABCO,A(0,3),点D为x轴上一动点,以AD为边在AD的右侧作等腰Rt△ADE,∠ADE=90°,连接OE,则OE的最小值为________.
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,2),
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图,在抛物线对称轴上取两个点G、H(G在H的上方),且满足GH=1,连接CG,AH,求四边形CGHA的周长的最小值;
(3)如图,点P是抛物线第一象限的一个动点,过点P作PQ⊥x轴于点Q,交BC于点D,PE⊥BC于点E,设△PDE的面积为S,求当S取得最大值时点P的坐标,并求S的最大值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为
,点
是
轴正半轴上一点,以
为边作等腰直角三角形
,使
,点
在第一象限。若点
在函数
的图象上,则
的面积为( )
A. .B.
.C.
.D.
.
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【题目】“才饮长沙水,又食武昌鱼”.因一代伟人毛泽东的佳句,“鄂州武昌鱼”名扬天下.某网店专门销售某种品牌真空包装的武昌鱼熟食产品,成本为30元/盒,每天销售y(盒)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系,如图所示.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)如果规定每天这种武昌鱼熟食产品的销售量不低于240盒,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大,最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后每天剩余利润不低于3 600元,试确定这种武昌鱼熟食产品销售单价的范围.
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