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已知,如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,连接AC,过点C作直线CD⊥AB于D(AD<DB),点E是精英家教网DB上任意一点(点D、B除外),直线CE交⊙O于点F,连接AF与直线CD交于点G.
(1)求证:AC2=AG•AF;
(2)若点E是AD(点A除外)上任意一点,上述结论是否仍然成立?若成立,请画出图形并给予证明;若不成立,请说明理由.
分析:(1)欲证AC2=AG•AF,即证AC:AG=AF:AC,可以通过证明△AGC∽△ACF得到.
(2)分清E点在AD上有两种情况,然后逐一证明.
解答:精英家教网(1)证明:连接CB,
∵AB是直径,CD⊥AB,
∴∠ACB=∠ADC=90°,又∠CAD=∠BAC,
∴△CAD∽△BAC,
∴∠ACD=∠ABC,
∵∠ABC=∠AFC,
∴∠ACD=∠AFC,∠CAG=∠FAC,
∴△ACG∽△AFC,
AC
AG
=
AF
AC

∴AC2=AG•AF;

(2)解:当点E是AD(点A除外)上任意一点,上述结论仍成立精英家教网
①当点E与点D重合时,F与G重合,如图所示:
有AG=AF,∵CD⊥AB,
AC
=
AF
,AC=AF,
∴AC2=AG•AF
②当点E与点D不重合时(不含点A)时,如图所示:
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证明类似(1).
点评:考查相似三角形的判定方法及圆周角定理的综合运用.
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22、已知:如图,AB是⊙O的直径,BC是和⊙O相切于点B的切线,⊙O的弦AD平行于OC.
求证:DC是⊙O的切线.

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(2013•门头沟区一模)已知:如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的弦,M为AB上一点,过点M作DM⊥AB,交弦AC于点E,交⊙O于点F,且DC=DE.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)如果DM=15,CE=10,cos∠AEM=
513
,求⊙O半径的长.

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(1997•昆明)已知:如图,AB是⊙O的直径,直线MN切⊙O于点C,AD⊥MN于D,AD交⊙O于E,AB的延长线交MN于点P.求证:AC2=AE•AP.

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(2012•平谷区二模)已知,如图,AB是⊙O的直径,点E是
AD
的中点,连接BE交AC于点G,BG的垂直平分线CF交BG于H交AB于F点.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若AB=8,BC=6,求BE的长.

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已知:如图,AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,过点B的弦BD⊥OC交⊙O于点D,垂足为E.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)当BC=BD,且BD=12cm时,求图中阴影部分的面积(结果不取近似值).

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