Question

7．如图，抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C₁，将C₁关于点B的中心对称得C₂，C₂与x轴交于另一点C，将C₂关于点C的中心对称得C₃，连接C₁与C₃的顶点，则图中阴影部分的面积为32．

Answer 1

分析 将x轴下方的阴影部分沿对称轴分成两部分补到x轴上方，即可将不规则图形转换为规则的长方形，则可求出．

解答 解：∵抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于点A、B，
∴当y=0时，则-x²-2x+3=0，
解得x=-3或x=1，
则A，B的坐标分别为（-3，0），（1，0），
AB的长度为4，
从C₁，C₃两个部分顶点分别向下作垂线交x轴于E、F两点．
根据中心对称的性质，x轴下方部分可以沿对称轴平均分成两部分补到C₁与C₂．
如图所示，阴影部分转化为矩形．

根据对称性，可得BE=CF=4÷2=2，则EF=8
利用配方法可得y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4
则顶点坐标为（-1，4），即阴影部分的高为4，
S_阴=8×4=32．

点评 本题考查了中心对称的性质、配方法求抛物线的顶点坐标及求抛物线与x轴交点坐标，解题关键是将不规则图形通过对称转换为规则图形，求阴影面积经常要使用转化的数学思想．