Question

如图，已知△ABC中∠A=60°，AB=2cm，AC=6cm，点P、Q分别是边AB、AC上的动点，点P从顶点A沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时点Q从顶点C沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当点P到达点B时点P、Q都停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时AP=AQ；
（2）是否存在某一时刻使得△APQ是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由AP=AQ可以列出关于t的方程t=6-3t，通过解该方程可以求得t的值；
（2）需要分类讨论：当∠APQ=90°和∠AQP=90°时，利用“30度角所对的直角边等于斜边的一半”列出关于t的方程，通过解方程来求t的值即可．

解答：解：（1）由已知得：AP=t，CQ=3t，
∴AQ=6-3t，
∴t=6-3t，解得t=

3

2

，
∴当t=

3

2

时，AP=AQ；

（2）存在．分两种情况：
①当∠APQ=90°时，
∵∠A=60°，∴∠AQP=30°，
∴AQ=2AP，即6-3t=2t，解得t=

6

5

；
②当∠AQP=90°时，
此时∠APQ=30°，
∴AP=2AQ，即t=2（6-3t），解得t=

12

7

．
综上所述，当t=

6

5

或

12

7

时△APQ为直角三角形．

点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形以及一次函数的综合应用，要注意的是对于动点问题，一定要分类讨论．