分析 (1)根据AC为⊙O直径,得到∠ADC=∠CBA=90°,通过全等三角形得到CD=AB,推出四边形ABCD是平行四边形,根据矩形的判定定理得到结论;
(2)根据直角三角形的性质得到NB=$\frac{1}{2}$MF=NF,根据等腰三角形的性质和余角的性质即可得到NB是⊙O的切线;
(3)根据垂径定理得到DE=GE=6,根据四边形ABCD是矩形,得到∠BAD=90°,根据余角的性质得到∠FAE=∠ADE,推出△AEF∽△DEA,根据相似三角形的性质列比例式得到AE=3$\sqrt{2}$,连接OD,设⊙O的半径为r,根据勾股定理列方程即可得到结论.
解答 解:(1)∵AC为⊙O直径,
∴∠ADC=∠CBA=90°,
在Rt△ADC与Rt△CBA中,$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$,
∴Rt△ADC≌Rt△CBA,
∴CD=AB,
∵AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠CBA=90°,
∴四边形ABCD是矩形;
(2)连接OB,
∵∠MBF=∠ABC=90°,
∴NB=$\frac{1}{2}$MF=NF,
∴∠1=∠2,
∵∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∵OB=OA,
∴∠5=∠4,
∵DG⊥AC,
∴∠AEF=90°,
∴∠3+∠4=90°,
∴∠1+∠5=90°,
∴OB⊥NB,
∴NB是⊙O的切线;
(3)∵AC为⊙O直径,AC⊥DG,
∴DE=GE=6,
∵F为GE中点,
∴EF=GF=3,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
∴∠FAE+∠DAE=90°,
∵∠ADE+∠DAE=90°,
∴∠FAE=∠ADE,
∵∠AEF=∠DEA=90°,
∴△AEF∽△DEA,
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{EF}{AE}$,
∴AE=3$\sqrt{2}$,
连接OD,设⊙O的半径为r,
∴OA=OD=r,OE=r-3$\sqrt{2}$,
∵OE2+DE2=OD2,
∴(r-3$\sqrt{2}$)2+62=r2,
∴r=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$,
∴⊙O的半径是$\frac{9\sqrt{2}}{2}$.
点评 本题考查了圆周角定理,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,直角三角形的性质,勾股定理,证得AEF∽△DEA是解决(3)的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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