Question

【题目】如图，菱形ABCD的边长为10，sinA＝，点M为边AD上的一个动点且不与点A和点D重合，点A关于直线BM的对称点为点A'，点N为线段CA'的中点，连接DN，则线段DN长度的最小值是_____．

Answer 1

【答案】﹣5．

【解析】

通过构造三边关系来求DN的最小值，根据A，A'关于直线BM对称，BA′＝10，取BC的中点K，NK是的中位线，NK=5，作DH⊥BC，根据sinA＝可求出DH=8，CH=6，在Rt△DHK中，由勾股定理求得DK的值，看△DNK根据三角形的三边关系即可求出答案．

解：如图，连接BA′，取BC的中点K，连接NK，作DH⊥BC于H．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，∠A＝∠DCB，

∵A，A′关于BM对称，

∴BA′＝BA＝10，

∵CN＝NA′，CK＝BK，

∴NK＝BA′＝5，

∵sin∠A＝sin∠DCH＝＝，

∴DH＝8，

∴CH＝＝＝6，

∴CK＝KB＝5，

∴HK＝CH＝CK＝1，

∴DK＝＝＝，

∵DN≥DK﹣NK，

∴DN≥﹣5，

∴DN的最小值为﹣5，

故答案为：﹣5．