Question

8．在锐角△ABC中，∠C=45°，O为外心，过A，B，O三点作一圆交AC于E，交BC于F，求证：CO⊥EF且CO=EF．

Answer 1

分析 连接AF、OF，延长CO交EF于点H，先证明AB是△AOB的外接圆的直径，得出∠AFB=90°=∠AFC，由ASA证明△AEF≌△OFA，得出EF=OA=OC，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠CHF=90°即可．

解答 证明：连接AF、OF，延长CO交EF于点H，如图所示：
∵∠ACB=45°，O为外心，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，OA=OB=CO，
∴AB是△AOB的外接圆的直径，∠AFO=45°=∠ABO，
∴∠AFB=90°=∠AFC，
∴AF=CF，∠CFO=45°=∠AFO=∠CAF=∠OFC，
∵∠OAE=∠OFE，
∴∠OAF=∠EFA，
在△AEF和△OFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠EFA}\\{AF=AF}\\{∠AFO=∠EAF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△OFA（ASA），
∴EF=OA=CO，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=∠OAF，
∴∠CHF=180°-（∠HOF+∠OFE）=180°-（∠OFC+∠OCF+∠OFE）
=180°-（∠OFC+∠OAF+∠OAE）=180°-（∠OFC+∠EAF）
=180°-（45°+45°）=90°，
∴OC⊥EF．

点评 本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，需要通过作辅助线才能得出结论．