Question

【题目】如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .

（1）求证：直线PD是⊙A的切线；

（2）若PC=2，sin∠P=，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）20-4π.

【解析】分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.

（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.

详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，

∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，

又PD=BC，∴AD=PD，

∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，

∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，

∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，

∴PD是⊙A的切线.

（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=，PC=2 ，

令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)2=(2)2，

解得：x=2，∴CD=4，PD=6，

∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，

∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为×4×2=4，

扇形ABE的面积为π×42=4π，

∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.