Question

14．如图，点A（1，0）、B（4，0）、M（5，3）．动点P从A点出发，沿x轴以每秒1个单位的速度向右移动，过点P的直线l：y=-x+b也随之移动．设移动时间为t秒．
（1）当t=1时，求直线l的解析式．
（2）若直线l与线段BM有公共点，求t的取值范围．
（3）当点M关于直线l的对称点落在坐标轴上时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据点P的运动用t表示出点P的坐标，代入t=1即可得出点P的坐标，根据点P的坐标利用待定系数法即可求出此时直线l的解析式；
（2）分别找出直线l过点B、M时的b值，再根据一次函数图象上点的坐标特征找出t值，由此即可得出结论；
（3）分对称点落在x轴和y轴上考虑．根据直线l的解析式可设出直线MC的解析式，根据点M的坐标利用待定系数法即可求出直线MC的解析式，则直线MC与x、y轴的交点将是点M关于直线l的对称点，找出两直线的交点坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出t值即可得出结论．

解答 解：（1）直线y=-x+b交x轴于点P（1+t，0）（b＞0，t≥0）．
当t=1时，1+t=2，
∴P（2，0），
∴-2+b=0，
解得b=2，
故当t=1时，直线l的解析式为y=-x+2．
（2）当直线y=-x+b过点B（4，0）时，有1+t=4，
∴t=3；
当直线y=-x+b过点M（5，3）时，有3=-5+b，
解得：b=8，
∴0=-（1+t）+8，
解得t=7．
故若l与线段BM有公共点，t的取值范围是：3≤t≤7．
（3）点M关于直线l的对称点落在对称轴上分两种情况（如图所示）：
①当点M的对称点落在y轴上时，过点M作MC⊥直线l，交y轴于点C，交直线l于点D，则点C为点M在坐标轴上的对称点．
设直线MC的解析式为y=x+m，则：3=5+m，解得：m=-2，
∴直线MC的解析式为y=x-2．
当x=0时，y=0-2=-2，
∴C点坐标为（0，-2）．
∵（0+5）÷2=2.5，（3-2）÷2=0.5，
∴D点坐标为（2.5，0.5），
当直线y=-x+b过点D（2.5，0.5）时，有0.5=-2.5+b，解得：b=3，
即0=-（1+t）+3，解得t=2．
∴t为2时，点M关于l的对称点落在y轴上．
②当点M的对称点落在x轴上时，设直线MC分别与x轴、直线l交与点E，F．
当y=0时，有x-2=0，解得：x=2，
∴点E（2，0），点F（3.5，1.5）．
∴1.5=-3.5+b，解得：b=5，
∴t=b-1=4，
∴t=4时点M关于l的对称点落在x轴上．
综上，t=2或4时，M的对称点在坐标轴上．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线l的解析式；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出t值；（3）分对称点落在x轴和y轴上考虑．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．