Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径R=5，tanA=

3

4

，求线段CD的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）连接OD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出OD⊥DE，进而得出答案；
（2）得出△BCD∽△ACB，进而利用相似三角形的性质得出CD的长．

解答：解：（1）直线DE与⊙O相切．
理由如下：连接OD．
∵OA=OD
∴∠ODA=∠A
又∵∠BDE=∠A
∴∠ODA=∠BDE
∵AB是⊙O直径
∴∠ADB=90°
即∠ODA+∠ODB=90°
∴∠BDE+∠ODB=90°
∴∠ODE=90°
∴OD⊥DE
∴DE与⊙O相切；

（2）∵R=5，
∴AB=10，
在Rt△ABC中
∵tanA=

BC

AB

=

3

4

∴BC=AB•tanA=10×

3

4

=

15

2

，
∴AC=

AB2+BC2

=

102+( 15 2 )2

=

25

2

，
∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB
∴△BCD∽△ACB
∴

CD

CB

=

CB

CA

∴CD=

CB2

CA

=

( 15 2 )2

25 2

=

9

2

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和圆周角定理等知识，得出△BCD∽△ACB是解题关键．