Question

17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．
（1）求证：∠AGD=∠FGC；
（2）若AG•AF=48，CD=4$\sqrt{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥CD，推出EC=ED，推出AC=AD，推出∠3=∠ADC，由∠1+∠AGC=180°，∠AGC+∠ADC=180°，推出∠1=∠ADC，由∠2=∠3，即可证明∠1=∠2；
（2）由△CAG∽△FAC，推出$\frac{AC}{FA}$=$\frac{AG}{AC}$，推出AC²=AG•AF=48，推出AC=4$\sqrt{3}$，在Rt△ACE中，由∠AEC=90°，AC=4$\sqrt{3}$，CE=2$\sqrt{3}$，推出AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=6，由△ACE∽△ABC，可得AC²=AE•AB，推出AB=8即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB⊥CD，
∴EC=ED，
∴AC=AD，
∴∠3=∠ADC，
∵∠1+∠AGC=180°，∠AGC+∠ADC=180°，
∴∠1=∠ADC，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，即：∠AGD=∠FGC；

（2）解：∵∠FCG+∠DCG=180°，∠DCG+∠DAG=180°，
∴∠FCG=∠DAG，∵∠1=∠2，
∴∠ADG=∠F，
∵∠ADG=∠ACG，
∴∠ACG=∠F，∵∠CAG=∠CAF，
∴△CAG∽△FAC，
∴$\frac{AC}{FA}$=$\frac{AG}{AC}$，
∴AC²=AG•AF=48，
∴AC=4$\sqrt{3}$，
在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，AC=4$\sqrt{3}$，CE=2$\sqrt{3}$，
∴AE=$\sqrt{A{C}^{2}-C{E}^{2}}$=6，
易知△ACE∽△ABC，
∴AC²=AE•AB，
∴AB=8，
∴⊙O的半径为4．

点评 本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．