Question

18．如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，点E是弧AB的中点，连结OE，交AB于点D，再连结CD，若tan∠CDB=$\frac{3}{2}$，则AB与DE的数量关系是（　　）

• A． AB=2DE
• B． AB=3DE
• C． AB=4DE
• D． 2AB=3DE

Answer 1

分析 连接BC，根据圆周角定理得出∠ABC=90°，再由tan∠CDB=$\frac{3}{2}$得出$\frac{BC}{BD}$的值，根据垂径定理得出OE⊥AB，AD=BD，据此可得出OD是△ABC的中位线．设AD=x，则OD=$\frac{3}{4}$x，在Rt△AOD中利用勾股定理得出r的长，据此可得出结论．

解答 解：连接BC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴tan∠CDB=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{3}{2}$．
∵点E是$\widehat{AB}$的中点，
∴OE⊥AB，AD=BD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{OD}{AD}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{BD}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$．
设AD=x，则OD=$\frac{3}{4}$x，
在Rt△AOD中，
∵AD²+OD²=OA²，即x²+（$\frac{3}{4}$x）²=r²，解得r=$\frac{5}{4}$x，
∴DE=OE-OD=$\frac{5}{4}$x-$\frac{3}{4}$x=$\frac{1}{2}$x，AB=2AD=2x，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{2x}{\frac{1}{2}x}$=4，
∴AB=4DE．
故选C．

点评 本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．