Question

（2012•宁德质检）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是AB延长线上一点，∠FCB=∠A．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）若DB=4，sinD=

2

5

，求⊙O的直径．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由OA=OA可知∠ACO=∠A，再根据∠FCB=∠A可知∠ACO=∠FCB，由于AB是⊙O的直径，所以∠ACO+∠OCB=90°故∠FCB+∠OCB=90°故可得出结论；
（2）由AB是⊙O的直径，CD⊥AB可知

BC

=

BD

，再根据BC=BD=4，可知∠D=∠A，由sinD=

2

5

得出sinA=

2

5

，故可得出

BC

AB

=

2

5

，进而得出AB的长．

解答：证明：（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
又∵∠FCB=∠A
∴∠ACO=∠FCB，
又∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°，∠FCB+∠OCB=90°
∴直线CF为⊙O的切线，

（2）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB
∴

BC

=

BD

，
∴BC=BD=4，∠D=∠A，
又∵sinD=

2

5

，
∴sinA=

2

5

，
∴

BC

AB

=

2

5

∴AB=10．
答：⊙O的直径为10．

点评：本题考查的是切线的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形，利用等腰三角形的性质求解是解答此题的关键．